Questão 1

Dadas as matrizes

, determine a matriz D resultante da operação A + B – C.

Questão 2

Os elementos de uma matriz M quadrada de ordem 3 x 3 são dados por a_ij, onde:
i + j, se i ≠ j
0, se i = j
Determine M + M.

Questão 3

(PUC–SP–Adaptada) São dadas as matrizes A = (aij) e B = (bij), quadradas de ordem 2, com aij = 3i + 4j e bij = – 4i – 3j. Considerando C = A + B, calcule a matriz C.

Questão 4

(PUCC–SP–Adaptada) Seja a matriz A = ( a_ij ) _{2 x 2}, em que a_ij = i + j, se i = j e i – j, se i ≠ j. Determine a matriz respeitando essas condições e calcule A + A + A.

Questão 5

Determine a matriz C, resultado da soma das matrizes A e B.

Questão 6

Adicione as matrizes e determine os valores das incógnitas.

Questão 7

Determine a matriz resultante da subtração das seguintes matrizes:

Questão 8

Considerando as matrizes:

Determine:
a) A + B – C
b) A – B – C

Respostas

Resposta Questão 1

Resposta Questão 2

Resposta Questão 3

Resposta Questão 4

Resposta Questão 5

Resposta Questão 6

x + x = 10
2x = 10
x = 5
y + 3 = – 1
y = – 1 – 3
y = – 4
3 + t = 4
t = 4 – 3
t = 1
2z + z = 18
3z = 18
z = 18/3
z = 6

Resposta Questão 7

Resposta Questão 8

Questão 1

UFSC
Sejam A=(a_ij )_4x3 e B=(b_ij)_3x4 duas matrizes definidas por a_ij=i+j e b_ij=2i+j, respectivamente. Se A.B=C, então qual é o elemento c₃₂da matriz C?

Questão 2

Encontre o valor de x e y resolvendo a seguinte igualdade.

Questão 3

Determine os valores de a e b para que as matrizes sejam comutativas.

Questão 4

FGV-SP (questão adaptada)
, de forma que At.B é uma matriz nula, calcule x.y²

Questão 5

(Fuvest-SP)
Uma matriz real A é ortogonal se A.A^t=I, onde I indica a matriz identidade e A^tindica a transposta de A.
a) 1/4
b) √3/4
c) 1/2
d) √3/2
e) 3/2

Respostas

Resposta Questão 1

O elemento requerido é o da terceira linha e da segunda coluna, que é resultado de uma multiplicação de duas matrizes. Sabemos pela propriedade de multiplicação que este elemento é proveniente da multiplicação da terceira linha da matriz A pela segunda coluna da matriz B. Portanto, precisamos escrever apenas estes elementos.

Resposta Questão 2

Ao resolvermos a multiplicação do lado esquerdo da igualdade, obteremos uma matriz-produto, de forma que poderemos igualar a matriz-produto à matriz do lado direito da igualdade.
Resposta Questão 3

A propriedade da comutatividade diz que dois elementos são comutativos quando a seguinte igualdade é verdadeira: A.B = B.A.
Façamos isto com nossas matrizes:

Basta obtermos o produto de cada lado da igualdade:

Igualando os dois produtos:

Não é preciso fazer a igualdade de todos os elementos, basta escolhermos os elementos que possuem apenas um dos valores, para facilitar os cálculos:
Resposta Questão 4

Temos que encontrar a matriz transposta de A.

Temos que
Resolvendo a multiplicação das matrizes, temos:

A questão pede o valor de x.y², agora que obtemos o valor de cada um podemos resolver essa expressão.

Resposta Questão 5

Devemos primeiramente calcular o produto da matriz A pela sua matriz transposta, igualando-as à matriz identidade.

Como a matriz é ortogonal, temos que A.A^T=I.
Com isso,

Com estas informações podemos montar um sistema através da igualdade de matrizes.

Da primeira equação obtemos que o valor de x é igual a:

Substituindo este valor na segunda equação obtemos uma expressão para z.

Substituindo na terceira equação o valor de z, temos:

A questão pede o valor de x²+y². Como sabemos o valor de cada um, é possível calcular este resultado:

Resposta letra E

Exercicios

Questões:

01. Obter a matriz A = (aij)2x2 definida por aij = 3 i - j.

02. Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 e A^t sua transposta, determine A, tal que A = 2 . A^t.

03. (UNIV. CATÓLICA DE GOIÁS) Uma matriz quadrada A é dita simétrica se A = A^T e é dita anti-simétrica se A^T = -A, onde A^Té a matriz transposta de A. Sendo A uma matriz quadrada, classifique em verdadeira ou falsa as duas afirmações:

(01) A + A^T é uma matriz simétrica
(02) A - A^T é uma matriz anti-simétrica

04. Se uma matriz quadrada A é tal que A^t = -A, ela é chamada matriz anti-simétrica. Sabe-se que M é anti-simétrica e:
Os termos a12, a13 e a23 de M, valem respectivamente:

a) -4, -2 e 4
b) 4, 2 e -4
c) 4, -2 e -4
d) 2, -4 e 2
e) 2, 2 e 4

a) x = y = 0
b) x = y = m = n = 0
c) x = y e m = n
d) y = -2x e n = -2m
e) x = -2y e m = -2n

06. Na confecção de três modelos de camisas (A, B e C) são usados botões grandes (G) e pequenos (p). O número de botões por modelos é dado pela tabela:

Camisa A

Camisa B

Camisa C

Botões p

3

1

3

Botões G

6

5

5

O número de camisas fabricadas, de cada modelo, nos meses de maio e junho, é dado pela tabela:

Maio

Junho

Camisa A

100

50

Camisa B

50

100

Camisa C

50

50

Nestas condições, obter a tabela que dá o total de botões usados em maio e junho.

RESOLUÇÃO:

07. Sobre as sentenças:

I. O produto das matrizes A3 x 2 . B2 x 1 é uma matriz 3 x 1.
II. O produto das matrizes A5 x 4 . B5 x 2 é uma matriz 4 x 2.
III. O produto das matrizes A2 x 3 . B3 x 2 é uma matriz quadrada 2 x 2

É verdade que:

a) somente I é falsa;
b) somente II é falsa;
c) somente III é falsa;
d) somente I e III são falsas;
e) I, II e III são falsas.

08. (MACK) Se A é uma matriz 3 x 4 e B uma matriz n x m, então:

a) existe A + B se, e somente se, n = 4 e m = 3;
b) existe AB se, e somente se, n = 4 e m = 3;
c) existem AB e BA se, e somente se, n = 4 e m = 3;
d) existem, iguais, A + B e B + A se, e somente se, A = B;
e) existem, iguais, AB e BA se, e somente se, A = B.

a) 3
b) 14
c) 39
d) 84
e) 258

10. (PUC) Se A, B e C são matrizes quadradas e At, Bt e Ct são suas matrizes transpostas, e igualdade falsa entre essas matrizes é:

a) (A = B) . C = A . C + B . Cb) (A + B)^t = A^t + B^t

c) (A . B)^t = A^t . B^t

d) (A - B)C = AC - BC

e) (A^t)^t = A

Resolução:

01.

02.

03. (01) verdadeira
      (02) verdadeira

04. B

05. E

06.

Maio

Junho

Botões p

500

400

Botões G

1100

1050

07. B

08-C



09-D

10-C